Logo d'aire maximale

Un logo doit être constitué d'un carré et d'un rectangle tels que la largeur du rectangle soit égale à la longueur du côté du carré. Pour le réaliser, on délimite ces deux surfaces avec une ficelle de  $10$  mètres de long. La figure suivante montre un exemple de configuration envisagée.

Soit $x$ la longueur, en mètres, du côté du carré. Le but de l'exercice est de déterminer pour quelle valeur de $x$ l'aire du logo est maximale.

1. a. Calculer l'aire du logo pour $x=0,1\text{m}$ .
    b. Expliquer pourquoi $x$ appartient à l'intervalle $I=[0;{\displaystyle \frac{5}{3}}]$ . 
     c. Donner l'expression de l'aire du logo $A(x)$  en fonction de $x$ .

2.  a. Déterminer les variations de la fonction $A$  sur l'intervalle $I$ .
      b. Répondre au problème posé.
      c. Avec $1\text{L}$ de peinture, on peint $10{\text{m}}^2$ . Combien de litres de peinture seront nécessaires pour peindre la surface maximale du logo ?